O determinante de uma matriz é um número que pode ser usado para resolver sistemas lineares, calcular áreas de triângulos, verificar se três pontos estão alinhados, entre outras aplicações.
Neste artigo, vamos aprender como calcular o determinante de matrizes quadradas, ou seja, matrizes que têm o mesmo número de linhas e colunas.
Matrizes de ordem 1
Uma matriz de ordem 1 é aquela que tem apenas um elemento. O determinante dessa matriz é igual ao próprio elemento. Por exemplo:
|2| = 2
|-3| = -3
|a| = a
Matrizes de ordem 2
Uma matriz de ordem 2 é aquela que tem dois elementos em cada linha e coluna. O determinante dessa matriz é obtido pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Por exemplo:
|a b|
|c d| = ad – bc
|1 2|
|3 4| = 1×4 – 2×3 = -2
|-2 5|
|4 -3| = -2×(-3) – 5×4 = 6 – 20 = -14
Matrizes de ordem 3
Uma matriz de ordem 3 é aquela que tem três elementos em cada linha e coluna. O determinante dessa matriz é obtido pela regra de Sarrus, que consiste em repetir as duas primeiras colunas ao lado da matriz e multiplicar os elementos das diagonais formadas da esquerda para a direita e da direita para a esquerda, somando os resultados das primeiras e subtraindo os resultados das segundas. Por exemplo:
|a b c|
|d e f|
|g h i|
Repetindo as duas primeiras colunas:
|a b c a b|
|d e f d e|
|g h i g h|
Multiplicando as diagonais da esquerda para a direita:
a×e×i + b×f×g + c×d×h
Multiplicando as diagonais da direita para a esquerda:
c×e×g + a×f×h + b×d×i
Subtraindo os resultados:
a×e×i + b×f×g + c×d×h – (c×e×g + a×f×h + b×d×i)
Simplificando:
a(ei – fh) – b(di – fg) + c(dh – eg)
Esse é o determinante da matriz de ordem 3.
|1 2 3|
|4 5 6|
|7 8 9|
Repetindo as duas primeiras colunas:
|1 2 3 1 2|
|4 5 6 4 5|
|7 8 9 7 8|
Multiplicando as diagonais da esquerda para a direita:
1×5×9 + 2×6×7 + 3×4×8 = 45 + 84 + 96 = 225
Multiplicando as diagonais da direita para a esquerda:
3×5×7 + 1×6×8 + 2×4×9 = 105 + 48 + 72 = 225
Subtraindo os resultados:
225 – 225 = **0**
Esse é o determinante da matriz de ordem 3.
Matrizes de ordem maior que 3
Para calcular o determinante de matrizes de ordem maior que 3, podemos usar o teorema de Laplace, que consiste em escolher uma linha ou uma coluna da matriz e somar os produtos dos elementos dessa linha ou coluna pelos seus respectivos cofatores.
Os cofatores são os determinantes das submatrizes obtidas ao eliminar a linha e a coluna do elemento escolhido, multiplicados por (-1) elevado à soma dos índices do elemento. Por exemplo:
|a b c d|
|e f g h|
|i j k l|
|m n o p|
Escolhendo a primeira linha, temos:
a × |f g h|
|j k l|
|n o p|
– b × |e g h|
|i k l|
|m o p|
+ c × |e f h|
|i j l|
|m n p|
– d × |e f g|
|i j k|
|m n o|
Simplificando:
a(fkp – flo – gjp + gln + hon – hkm) – b(ekp – elo – gip + glm + hom – hkl) + c(efj – efm – gij + ghm + hin – hjm) – d(efk – efo – gik + gjo + hin – hjn)
Esse é o determinante da matriz de ordem 4.
Calculadora de matriz
Se você quiser calcular o determinante de uma matriz sem fazer todos esses cálculos, você pode usar uma calculadora de matriz online, que faz o trabalho para você. Basta inserir os elementos da matriz e clicar em calcular.
Essas calculadoras podem te ajudar a verificar se você fez os cálculos corretamente ou a resolver problemas mais rápido. Mas lembre-se que é importante saber como calcular o determinante de uma matriz manualmente, pois isso pode ser cobrado em provas ou testes.
Conclusão
Neste artigo, vimos como calcular o determinante de uma matriz quadrada, usando diferentes métodos dependendo da ordem da matriz. Vimos também como usar uma calculadora de matriz online para facilitar o trabalho. Esperamos que este artigo tenha sido útil para você e que você tenha aprendido mais sobre esse assunto tão importante na matemática.
Deixe um comentário